[Stat] t-분포와 F-분포

t-분포

z 통계량에서 t 통계량까지.

우선 정규분포의 표본을 표준편차로 나눠 정규화한 z통계량의 경우에는 하나의 문제가 있다.
이를 구하기 위해서는 우리는 확률분포의 정확한 표준편차를 알아야 한다. 그런데 모집단 전체에 대한 정보를 알 수 없을 때 우리는 표본을 추출하여 사용해야 할 것이다. 현실적으로는 표준편차를 정확히 알 수 없기에 표본에서 측정한 표본표분편차로 정규화 할 수 밖에 없다.

정규분포로부터 얻은 N개의 표본에서 계산한 표본평균을 "표본표준편차"로 정규화한 값을 t 통계량이라고 한다.

여기서 표본평균과, 표본표준편차는 다음과 같이 주어진다.

t통계량은 자유도가 N-1인 스튜던트 t분포를 이루게 된다..

F-분포

카이제곱분포에서 F-분포까지.

F-분포란, 카이제곱 분포를 따르는 독립적인 두 개의 확률 변수를 나눈다.

자유도가 N1인 카이제곱분포 x1, 자유도가 N2인 카이제곱 분포 x2가 있을 때, 이에 대한 비를
자유도가 (N1, N2)인 F-분포를 따른다고 한다.

Remark. 모분산, 표본분산과 F분포의 관계

모분산이 각각 σ_1^2,  σ_2^2 인 정규 모집단에서, 서로 독립적으로추출된 크기 n1, n2인
표본의 분산을 각각 S_1^2, S_^2라 하자.

F = (S_1^2/σ_1^2)/(S_2^2/σ_2^2) 은 자유도가 (n1-1, n2-1)인 F-분포를 따른다.