[Linalg] Change of Basis

(프로그래머스 인공지능코스 Week2-Day2 강의 중 내용정리)

Change of Basis

좌표계를 바꿔서 행렬을 나타내는 법에 대해 알아보자.

(한줄 요약) Ax = Ib에서 I를 표준 좌표계로 보면 A는 새로운 좌표계, x는 b를 A로 표현한 새 좌표 값이라고 볼 수 있다.

 

Coordinate System으로의 표현

(a,b)는 기저가 (e1, e2) 즉, 표준 좌표계인 경우에 가지게 되는 좌표값이다.

(4,3)은 기저가 (v1, v2) 즉, 새로운 좌표계인 경우에 가지게 되는 좌표값이다.

 

즉, 좌표계를 바꿔 새로운 좌표값을 부여할 수 있다는 점이다.

 

역행렬로 표현

즉, 위의 내용을 다시 역행렬로 표현하면,

표준 좌표계에서 x 좌표값은,  A의 역행렬의 열벡터들을 기저로 갖는 좌표계에서는 b로 표현된다는 의미이다. 즉 다시 말해 표준 좌표계의 기저와, 새로운 좌표계의 기저좌표가 주어질 경우. A^-1을 구할 수 있을 것이다.

결론 : 표준 좌표계에서 표현된 벡터 v는,   (좌표계 A) * (좌표계 A에서 표현된 v)로 표현된다.

 

연습 문제

2차원 공간에서 벡터 v가 표준 좌표계에선 (2, 3)으로 표현된다.
새로운 공간의 기저벡터가 {(3, 1), (1, 3)}일 경우, 표준 좌표계의 v는 새 좌표계에서는 어떤 좌표 값을 가지는가?

풀이) 역행렬을 계산하면 간단하다.