[Prob] 베이즈 정리

조건부확률과 연관되어 있는 베이즈 정리에 대해 알아본다.

(관련내용 : 프로그래머스 인공지능 데브코스 Week2-Day4 강의중)

확률의 분할 법칙

두 사건 A, B가 주어질 때, 사건 B의 확률을 다음과 같은 방법으로 표현할 수 있다.

베이즈 정리는 이의 일반화로 시작된다.

이의 의미는 사건 B가 일어날 확률을,   사건 A가 일어날 확률과 연관된 것들로만 구할 수 있게 된다.

 

베이즈 정리

그렇다면 P(A|B)를 구할 수는 없는가? 이것이 베이즈 정리이다.

처음의 확률을 사전 확률, 수정된 확률을 사후 확률이라고 한다.

조금 더, 일반적으로 사건  B를 분할하여, 비슷한 방식으로 분해가 될 것이다.

 

연습문제

10,000명중에 1명만이 걸리는 질병이 있다.

질병이 있는 경우 양성, 질병이 없는 경우 음성 이라고 판단하는 검사의 정확도가 99% 라고 하자.

만일 양성 판정을 받았을 경우, 실제로 질병에 걸렸을 확률은 어느정도인가?

풀이)

사건 A :  실제로 질병에 걸렸다.
사건 B :  양성 판정을 받았다.
P(B|A) : 실제로 질병에 걸렸는데, 양성 판정을 받을 확률 = 0.99
P(A) : 실제로 질병에 걸릴 확률 = 0.0001
P(B|~A) : 병에 걸리지 않았는데, 양성 판정을 받을 확률 = 0.01
P(~A) : 병에 안 걸렸을 확률 = 0.9999

위의 베이즈 정리에 의해,
P(A|B) = (0.99*0.001)/(0.99*0.0001)+(0.01*0.9999) = 0.000099/(0.000099 + 0.009999) = 0.000099 / 0.010098
이를 계산하면, 약 0.98% 정도의 의 확률이 나온다...
실제로 병에 걸렸을 사람은 1%도 안된다.  검사의 정확도가 대 실패!